太陽位置¶

I. 評価法¶

ステップ \(n\) における太陽方位角 \(a_{sun,n}\) は、 \(-\pi\) ～ \(0\) ～ \(\pi\) の範囲で定義され、\(a_{sun,n}=\pm \pi\) を北、 \(a_{sun,n}=-\pi/2\) を東、 \(a_{sun,n}=0\) を南、 \(a_{sun,n}=\pi/2\) を西として、式(1)により計算される。ただし、太陽の位置が天頂にある場合は定義されない。

\begin{align*} a_{sun,n} = arctan( \sin{a_{sun,n}},\cos{a_{sun,n}} ) \tag{1} \end{align*}

ここで、

\(a_{sun,n}\): ステップ \(n\) における太陽方位角, rad
\(\sin{a_{sun,n}}\): ステップ \(n\) における太陽方位角の正弦, -
\(\cos{a_{sun,n}}\): ステップ \(n\) における太陽方位角の余弦, -

である。また、 \(arctan(y, x)\) は、 \(-\pi/2\) ～ \(0\) ～ \(\pi/2\) の範囲で定義される通常の逆正接関数とは異なり、座標上で第1引数を \(y\) , 第2引数を \(x\) にした際に \(x\) 軸との角度を求める関数として、 \(-\pi \leq arctan(y, x) \leq \pi\) の範囲で定義される。すなわち、 \(\sin{a_{sun,n}}>0\) かつ \(\cos{a_{sun,n}}>0\) の場合は \(0\) ～ \(\pi/2\) の角度を、\(\sin{a_{sun,n}}>0\) かつ \(\cos{a_{sun,n}}<0\) の場合は \(\pi/2\) ～ \(\pi\) の角度を、 \(\sin{a_{sun,n}}<0\) かつ \(\cos{a_{sun,n}}<0\) の場合は \(-\pi\) ～ \(-\pi/2\) の角度を、 \(\sin{a_{sun,n}}<0\) かつ \(\cos{a_{sun,n}}>0\) の場合は \(-\pi/2\) ～ \(0\) の角度を返す関数となる。

ステップ \(n\) における太陽方位角の余弦 \(\cos{a_{sun,n}}\) は、式(2)により計算される。ただし、太陽の位置が天頂にある場合は定義されない。

\begin{align*} \cos{a_{sun,n}} = \dfrac{ \sin{h_{sun,n}} \cdot \sin{\varphi_{loc}} - \sin{\delta_{n}} }{ \cos{h_{sun,n}} \cdot \cos{\varphi_{loc}} } \tag{2} \end{align*}

ここで、

\(h_{sun,n}\): ステップ \(n\) における太陽高度, rad
\(\varphi_{loc}\): 緯度, rad
\(\delta_{n}\): ステップ \(n\) における赤緯, rad

である。

ステップ \(n\) における太陽の方位角の正弦 \(\sin{a_{sun,n}}\) は、式(3)により計算される。ただし、太陽の位置が天頂にある場合は定義されない。

\begin{align*} \sin{a_{sun,n}} = \dfrac{ \cos{\delta_{n}} \cdot \sin{\omega_{n}} }{ \cos{h_{sun,n}} } \tag{3} \end{align*}

ここで、

\(\omega_{n}\): ステップ \(n\) における時角, rad

である。

太陽の位置が天頂にある場合とは、太陽高度 \(h_{sun,n}\) が次式を満たす場合を言う。

\begin{align*} h_{sun,n} = \frac{ \pi }{ 2 } \end{align*}

ステップ \(n\) における太陽高度 \(h_{sun,n}\) は、 \(-\pi/2 \leq h_{sun,n} \leq \pi/2\) の範囲で式(4)により計算される。

\begin{align*} h_{sun,n} = \arcsin( \sin{\varphi_{loc}} \cdot \sin{\delta_{n}} + \cos{\varphi_{loc}} \cdot \cos{\delta_{n}} \cdot \cos{\omega_{n}} ) \tag{4} \end{align*}

なお、 \(h_{sun,n} < 0\) は、太陽が沈んでいることを意味する。

ステップ \(n\) における時角 \(\omega_{n}\) は、式(5)により計算される。

\begin{align*} \omega_{n} = \{ ( t_{m,n} - 12 ) \times 15 \} \times \dfrac{\pi}{180} + ( \lambda_{loc} - \lambda_{loc,mer} ) + e_{t,n} \tag{5} \end{align*}

ここで、

\(t_{m,n}\): ステップ \(n\) における標準時, h
\(\lambda_{loc}\): 経度, rad
\(\lambda_{loc,mer}\): 標準時の地点の経度, rad
\(e_{t,n}\): ステップ \(n\) における均時差, rad

である。

ステップ \(n\) における標準時 \(t_{m,n}\) は、時間間隔により次表のように定義される。

時間間隔が1時間の場合¶
ステップ \(n\)	0	1	2	…	8760
標準時	0	1	2	…	8760

時間間隔が30分の場合¶
ステップ \(n\)	0	1	2	3	4	…	17519	17520
標準時	0	0.5	1	1.5	2	…	8759.5	8760

時間間隔が15分の場合¶
ステップ \(n\)	0	1	2	3	4	5	6	…	35039	35040
標準時	0	0.25	0.5	0.75	1	1.25	1.5	…	8759.75	8760

ステップ \(n\) における赤緯 \(\delta_{n}\) は、 \(-\pi/2 \leq \delta_{n} \leq \pi/2\) の範囲で式(6)により計算される。

\begin{align*} \delta_{n} = \arcsin \{ \cos ( \nu_n + \epsilon_n ) \cdot \sin \delta_0 \} \tag{6} \end{align*}

ここで、

\(\nu_n\): ステップ \(n\) における真近点離角, rad
\(\epsilon_n\): ステップ \(n\) における近日点と冬至点の角度, rad
\(\delta_0\): 北半球の冬至の日赤緯, rad

である。北半球の冬至の日赤緯 \(\delta_0\) は、 \(-23.4393 \times \pi/180\) radを用いる。

ステップ \(n\) における均時差 \(e_{t,n}\) は、式(7)により計算される。

\begin{align*} e_{t,n} = ( m_n - \nu_n ) - \arctan \dfrac{ 0.043 \sin \{ 2 ( \nu_n + \epsilon_n ) \} }{ 1 - 0.043 \cos \{ 2 ( \nu_n + \epsilon_n ) \} } \tag{7} \end{align*}

ここで、

\(m_n\): ステップ \(n\) における平均近点離角, rad

である。

ステップ \(n\) における真近点離角 \(\nu_n\) は、式(8)により計算される。

\begin{align*} \nu_n = m_n + ( 1.914 \sin m_n + 0.02 \sin 2m_n ) \times \dfrac{\pi}{180} \tag{8} \end{align*}

ステップ \(n\) における近日点と冬至点の角度 \(\epsilon_n\) は、式(9)により計算される。

\begin{align*} \epsilon_n = \Bigl\{ 12.3901 + 0.0172 \Bigl( N + \dfrac{ m_n }{ 2 \pi } \Bigr) \Bigr\} \times \dfrac{\pi}{180} \tag{9} \end{align*}

ここで、

\(N\): 1968年との年差, 年

である。

ステップ \(n\) における平均近点離角 \(m_n\) は、式(10)により計算される。

\begin{align*} m_n = 2 \pi ( d_n - d_0 ) / d_{ay} \tag{10} \end{align*}

ここで、

\(d_n\): ステップ \(n\) における年通算日( \(1\) 月 \(1\) 日を \(1\) とする), day
\(d_0\): 平均軌道上の近日点通過日(暦表時による \(1968\) 年 \(1\) 月 \(1\) 日正午基準の日差), day
\(d_{ay}\): 近点年(近日点基準の公転周期日数), day

である。本計算では、近点年(近日点基準の公転周期日数) \(d_{ay}\) は \(365.2596\) とする。

ステップ \(n\) における平均軌道上の近日点通過日(暦表時による \(1968\) 年 \(1\) 月 \(1\) 日正午基準の日差) \(d_0\) は、式(11)により計算される。

\begin{align*} d_0 = 3.71 + 0.2596 N - \biggl\lfloor \dfrac{ N + 3 }{ 4 } \biggr\rfloor \tag{11} \end{align*}

なお \(\lfloor x \rfloor\) は、 \(x\) の小数点以下を切り捨てた値とする。

1968年との年差 \(N\) は、式(12)により計算される。

\begin{align*} N = y - 1968 \tag{12} \end{align*}

ここで、

\(y\): 計算するする年(西暦), 年

である。本計算では、計算するする年は西暦1989年とする。

\(1\) 月 \(1\) 日を \(1\) とする、ステップ \(n\) における年通算日 \(d_n\) は、式(13)により計算される。

\begin{align*} d_n = \biggl\lfloor \dfrac{ n }{ 24 n_h } \biggr\rfloor + 1 \tag{13} \end{align*}

なお \(\lfloor x \rfloor\) は、 \(x\) の小数点以下を切り捨てた値とする。

標準時の地点の経度 \(\lambda_{loc,mer}\) は、式(14)により計算される。

\begin{align*} \lambda_{loc,mer} = 135 \times \dfrac{\pi}{180} \tag{14} \end{align*}

II. 根拠¶

作成中